SPSP — 理論編 3: 数式と厳密な定義

ここまでの 3 ページ (基本編 / 理論編・概念 / 理論編・評価) で概念と検証は説明した。 本ページは数式で厳密に定義する。再現実装が可能なレベルを目指す。 OpenSkill BradleyTerryFull の内部更新式は省略する (公式 docs を参照)。 それ以外の SPSP 固有の式はすべて記述する。

1. 記法

• $t$ = 大会、$u$ = プレイヤー、$p^t_u$ = 大会 $t$ におけるプレイヤー $u$ の placement (順位)
• $n_t$ = 大会 $t$ の参加者数 (重複・DQ・no-show 除外後)
• $d_t$ = 大会 $t$ の eval_date からの経過日数
• $\sigma_u,\ \mu_u$ = プレイヤー $u$ の直対評価レート (OpenSkill BT) の標準偏差・平均
• $r_u$ = プレイヤー $u$ の正規化直対レート (= 順位評価の gain 計算入力)
• 「休日」 = 土日祝。期間中のいずれかが休日なら大会全体を休日扱い (ただし 14 日超は開始日のみで判定)

2. 直対評価 (OpenSkill BradleyTerryFull)

2.1 概要

• 各プレイヤーは平均 $\mu$ と標準偏差 $\sigma$ の 2 パラメータ
• 初期値: $\mu_0 = 25,\ \sigma_0 = 25/3 \approx 8.33$
• skill spread $\beta = 25/6 \approx 4.167$、drift $\tau = 25/300$
• 順序付けスコア (ordinal): $\text{ord}_u = \mu_u - z\, \sigma_u$ (デフォルト $z = 3$)
• 詳細な更新式は OpenSkill 公式 docs を参照

2.2 σ floor + μ-compensation

通常の Bradley-Terry では試合を重ねると $\sigma$ が単調減少する。 これだと「覚醒選手」の急上昇を反映しにくい。SPSP では更新後の rating $(\mu_u, \sigma_u)$ に対し、 $\sigma$ が下限 $\sigma_{\text{floor}}$ を下回ったら次のように補正する:

この補正によって ordinal は不変:

つまり「一回の試合の結果」は正しく反映されつつ、次回の試合では $\sigma$ が下限以上で確保されているので 更新幅が大きい状態を維持できる。

SPSP 本番では $\sigma_{\text{floor}} = 3.0$。

2.3 Inactivity σ inflation (不参加期間による不確実性増加)

各プレイヤー $u$ の最終出場大会タイムスタンプを $\tau_u$ とおき、現大会 $t$ 開始時点での不参加日数を $d_u = (t_{\text{start}} - \tau_u) / 86400$ で定義する. 試合 update の 直前 に、$\sigma$ を以下の式で sigmoid 曲線で滑らかに膨らませる:

ただし $d_u \leq D_{\text{grace}}$ のときは何もしない (= $\sigma'_u = \sigma_u$). $\sigma$ を下げる方向には作用しない (max を取るため).

この補正により、長期 inactive 後の復帰戦では BT update 幅が大きくなり、復帰時の本当の実力を素早く反映できる. Sweep 評価では 全 Kendall τ scope で改善 (top_32 で +0.0033, top_8 で +0.0019).

2.4 レア / 常連ゲート (per-player gating)

プレイヤー $u$ の累計大会数を $c_u$、大会 $t$ が休日なら $w_t = 1$、平日なら $w_t = 0$ とおく。 試合 $(u_w, u_l)$ (winner / loser) について、それぞれ独立に rating を更新するか判定する:

ここで $M = 20$ (定数 GATED_M_TOUR)。winner / loser それぞれ独立に判定し、 片方だけ rating が動く試合もあり得る。

つまり「自分の累計大会数が 20 以下」または「その大会が休日開催」のとき直対評価を更新。 ベテラン (>20 大会) は平日大会の影響を受けない。

※ 下位クラスイベント (B/C/D/E クラス等のサブブラケット) は土日開催であっても $w_t = 0$ (= 平日扱い) とする。 お楽しみで参加する常連プレイヤーのレートを下位クラスでの結果で動かさないため。 制限大会 (雛囃子・西武撃 Rising 等) は通常通り $w_t$ を判定 (= 休日であれば $w_t = 1$)。

2.5 DQ (途中棄権) の判定

試合 $m$ について start.gg 側で dq=True となっているものは、BT 学習・SPR / UF 計算から除外する. 一方、大会 $t$ におけるプレイヤー $u$ の DQ 判定 $\mathrm{DQ}(u, t)$ は以下の OR で決まる:

明示的 DQ (start.gg 側に dq match が存在):

ここで $D_t$ は大会 $t$ の dq=True match の loser_id 集合. なお phase 内クラス bracket がある大会では、$D_t$ を main bracket / class bracket で分離して保持し、 親 event entry と class virtual entry に別々に適用する.

暗黙的 DQ (試合データありの大会で 1 試合も記録なし):

$|\mathcal{M}_t|$ = 大会 $t$ の総試合数, $p_u^t$ = $u$ の placement, $w_{u,t}$ = 勝ち数, $\ell_{u,t}$ = 負け数. 暗黙ルールが保守的 ($w=0 \land \ell=0$) なのは、data 欠損で false-positive を生まないため.

2.6 表示用 Elo 換算

ordinal を Elo の "log-odds" に変換する係数 $\beta_E$:

これを使い、表示用 Elo はオフセット $1000$ を加えて:

一方、順位評価の gain 計算に使う $r_u$ (正規化直対レート) は、全プレイヤーの最大が $2500$ になるようシフトする:

直対評価で値を持たないプレイヤー (該当試合に出ていない等) は $r_u = 1500$ (デフォルト基準値)。

3. 順位評価

3.1 placement → W2W (Wins-to-Win) 変換

ダブルイリミ (double elimination) bracket の構造を仮定する。優勝までに必要な勝ち数 W2W は placement ごとに決まる。 n 人参加の場合、losers bracket と winners bracket を組み立てた上で、各 placement $p$ が losers bracket の何ラウンド目に該当するかが一意に決まる。 たとえば $n = 8$ なら $\text{W2W}(1) = 5,\ \text{W2W}(2) = 4,\ \text{W2W}(3) = 3,\ \text{W2W}(5) = 2,\ \text{W2W}(7) = 1$。

定義: $\text{W2W}(p)$ = placement $p$ の参加者が losers bracket で 勝ち抜いた (= 勝ち上がる必要があった) ラウンド数。 SPSP では大会ごとの placement 列を `W2W` 列に変換してから集計を行う。

3.2 各ラウンドの参加者集合

各大会 $t$ で、参加者をシード番号順に並べ、それぞれの正規化直対レートを $\{r_i\}_{i=1}^{n_t}$ とする ($i$ はシード位置, 1-indexed)。 仮想ダブルイリミの losers' bracket のラウンド $j$ に到達するシード index 集合を $R_j$ とする (winners bracket と losers bracket の組み合わせから構築する標準的なダブルイリミシードの定式化)。

3.3 gain 関数 (Elo win probability)

ラウンド $j$ にいる相手レート $r$ に対し、基準レート $\text{base}$ の人が勝った時の「ゲインの大きさ」:

これは Elo の win probability 式 (= 基準が $\text{base}$ のプレイヤーが、レート $r$ の相手に勝つ確率を反転したもの)。 $r > \text{base}$ なら $g > 0.5$、$r < \text{base}$ なら $g < 0.5$。

3.4 ラウンドポイント $m_j(t)$

レート下限を $\text{floor}$、零回避定数 $\varepsilon = 0.01$ とする:

$r_i < \text{floor}$ なら $\text{floor}$ にクリップしてから $g$ に渡す。 また $g$ の値は $\max(0, g)$ に下限を入れる (極端な負を除く)。

3.5 プレイヤー個別の大会 raw points

プレイヤー $u$ の大会 $t$ における raw points は「勝ち上がったラウンド数 $rw_t(u)$ ぶん」の和:

ここで

= 「大会の最大ラウンド数 − 自分が落ちたラウンド」 = 勝ち上がりラウンド数。

3.6 age decay と position factor

時間減衰は月 3% の指数減衰 (= 半減期 ≈ 22.8 ヶ月):

プレイヤー $u$ の全大会を $P_{t,u} \cdot \alpha(d_t)$ の降順に並べる。 $i$ 番目 (1-indexed) の大会について:

すなわち上位 $N$ 件はフル評価、$N+1$ 件目以降は $pd$ の冪で減衰。

3.7 大会の重み付き計上pt

ここで $r(u,t)$ は重み $P_{t,u} \cdot \alpha(d_t)$ をプレイヤー $u$ の全大会で降順に並べたときの順位。 $w_{t,u}$ が「大会 $t$ がプレイヤー $u$ のスコアに **計上** される実 pt 量」を表す。

3.8 順位評価スコア

(レベル Lv の対象大会フィルタ $F_{\text{Lv}}$ を満たす大会のみで集計)

3.9 表示 Elo

raw の順位評価スコアは大会の難しさ・本数に応じて 0 〜 数十 のオーダーになる。 サイト表示時は $c = 100$ 倍 して整数 3〜4 桁の Elo 風数値にする (順位に影響しない線形変換):

(オフセットなし、つまり raw = 0 のプレイヤーは表示 Elo = 0)

4. 5 層カスケード

各 Lv のパラメータ $(\text{base},\ \text{floor},\ N,\ pd)$ と大会フィルタ $F_k$:

プレイヤー $u$ の最終 Lv は到達した最大の $k$:

スコアはその Lv のスコア。Lv5 まで生き残った人は Lv5 で並び、Lv4 止まりの人は Lv4 で並び、....

5. 総合評価 (ensemble)

直対評価ランクを $R^{\text{bt}}_u$、順位評価ランクを $R^{\text{rank}}_u$ とする。 総合評価の平均順位:

最終ランクは $\bar{R}_u$ の昇順。同値は平均 Elo

の降順で tie-break。 ここで $E^{\text{rank}}_u$ は §3.9 の順位評価表示 Elo、$E^{\text{bt}}_u$ は直対評価 (BT-gated) の表示 Elo (ordinal × β_E + 1000)。 どちらか片方しか rate されていないプレイヤーは欠けた側を「全プレイヤー数 + 1」で穴埋めしてから平均する。

6. パラメータ一覧